Etwas Mathematik ist funktional. Etwas Mathe macht Spaß. Und etwas Mathematik ist einfach umwerfend. Wenn diese letzte Beschreibung für Sie unwahrscheinlich klingt, dann könnte der heutige Tag Ihre Meinung ändern. Denn jetzt, da wir genug Boden abgedeckt haben, werden wir einen Blick auf einige der überraschenden, eleganten und geradezu mysteriösen Arten werfen, auf denen die Fibonacci-Folge in der Welt um Sie herum auftaucht.
Zusammenfassung der Fibonacci-Folge
Im letzten Artikel haben wir darüber gesprochen, wie eine scheinbar harmlose Frage über das Wachstum der Kaninchenpopulationen Fibonacci zu der Zahlenfolge führte, die jetzt seinen Namen trägt – die Fibonacci-Folge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Jede aufeinanderfolgende Zahl in dieser Folge wird durch Addieren der beiden vorherigen Zahlen erhalten. Abgesehen von ein paar komplizierten Details wie der Tatsache, dass Kaninchen schließlich alt werden und sterben, leistet diese Sequenz bewundernswerte Arbeit bei der Modellierung des Bevölkerungswachstums. Aber die Zahlen in Fibonaccis Folge haben ein Leben weit über Kaninchen hinaus und tauchen an den unerwartetsten Stellen auf.
Was ist der Goldene Schnitt?
Einer dieser Orte ist besonders faszinierend:der Goldene Schnitt. Also, was ist dieser goldene Schnitt? Nun, es ist eine Zahl, die ungefähr 1,618 entspricht. Diese Zahl wird heute oft als „Phi“ bezeichnet und mit dem Symbol für den Buchstaben Phi aus dem griechischen Alphabet geschrieben. Phi ist nicht genau gleich 1,618, da Phi, wie sein berühmter Cousin Pi, eine irrationale Zahl ist – was bedeutet, dass seine Dezimalstellen für immer weitergehen, ohne ein Muster zu wiederholen. Wenn Sie sehen möchten, wie der tatsächliche Wert von Phi ermittelt wird, sehen Sie sich das „Video Extra“ von Math Dude dieser Woche an! Folge auf YouTube. Aber wie kam diese Zahl zu einer solchen Bedeutung? Seltsamerweise begann es als eine Frage der Ästhetik.
Das goldene Rechteck
Was ist das schönste Rechteck? Genauer gesagt:In welchem Verhältnis steht die Höhe dieses „schönsten“ Rechtecks zu seiner Breite? Diese Frage scheint seltsam, aber sie ist nicht verrückt. Wir werden jetzt nicht auf die Details eingehen, aber es gibt Hinweise darauf, dass Menschen dazu neigen, eine bestimmte Form des Rechtecks als am angenehmsten für das Auge zu empfinden. Die Griechen wussten dies natürlich lange bevor moderne Psychologen es überprüften, weshalb sie in ihrer Architektur und Kunst goldene Rechtecke sowie andere goldene Formen und Proportionen verwendeten, die dem goldenen Schnitt folgten.
Zum Beispiel soll ein griechischer Bildhauer und Architekt namens Phidias vor fast 2500 Jahren den Goldenen Schnitt verwendet haben, um die Statuen zu entwerfen, die er für den Parthenon schuf (man beachte das Wort „Phi“ in Phidias' Namen – das ist kein Zufall und inspirierte tatsächlich die Benennung der Nummer im 20. Jahrhundert). Und seit der Zeit von Phidias haben auch zahlreiche Maler und Musiker den Goldenen Schnitt in ihre Arbeit integriert – unter vielen anderen Leonardo da Vinci, Salvador Dalí und Claude Debussy.
Aber zurück zu dem Problem, die Form des ansprechendsten Rechtecks herauszufinden. Wenn Sie einfach das Ihrer Meinung nach schönste Rechteck zeichnen, dann die Längen jeder Seite messen und schließlich die längste Länge durch die kürzeste teilen, werden Sie wahrscheinlich feststellen, dass das Verhältnis irgendwo bei 1,6 liegt – das ist der goldene Schnitt , phi, auf das nächste Zehntel gerundet. Es wird nicht genau 1,6 sein, aber es sollte ziemlich nah dran sein. Abgesehen davon, dass sie „schön“ ist, hat die resultierende Form eine faszinierende Eigenschaft:Wenn Sie ein goldenes Rechteck zeichnen und dann eine Linie darin ziehen, um dieses Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres kleineres Rechteck zu teilen, wird dieses kleinere Rechteck erstaunlicherweise ein weiteres goldenes Rechteck! Sie können dies mit diesem neuen goldenen Rechteck wiederholen, und Sie erhalten wieder ein Quadrat und noch ein weiteres goldenes Rechteck.
Verbindung zwischen dem Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Folge
Okay, aber was ist mit der Fibonacci-Folge? Wie passt das dazu? Ich weiß, es mag völlig zusammenhangslos erscheinen, aber schau dir das an. Lassen Sie uns eine neue Zahlenfolge erstellen, indem wir jede Zahl in der Fibonacci-Folge durch die vorherige Zahl in der Folge dividieren. Denken Sie daran, die Sequenz ist
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Wenn Sie also jede Zahl durch die vorherige Zahl teilen, erhalten Sie:1 / 1 =1, 2 / 1 =2, 3 / 2 =1,5 usw. bis zu 144 / 89 =1,6179 …. Die resultierende Sequenz ist:
1, 2, 1,5, 1,666…, 1,6, 1,625, 1,615…, 1,619…, 1,6176…, 1,6181…, 1,6179…
Aber fällt Ihnen etwas an diesen Zahlen auf? Vielleicht die Tatsache, dass sie immer weiter oszillieren und immer näher an 1,618 herankommen? – der Wert von Phi:der Goldene Schnitt! In der Tat, völlig ohne Fibonaccis Wissen, hat seine Lösung des Wachstumsproblems der Kaninchenpopulation eine tiefe zugrunde liegende Verbindung zum Goldenen Schnitt, den Künstler und Architekten seit Tausenden von Jahren verwenden!
Anwendungen des Goldenen Schnitts
Aber der Goldene Schnitt ist nicht nur etwas für Mathematiker, griechische Bildhauer und Maler der Renaissance – Sie können ihn auch in Ihrem Leben verwenden. Tatsächlich werden wir im nächsten Artikel darüber sprechen, wie Sie den Goldenen Schnitt verwenden können, um bessere Bilder zu machen. Und es gibt noch mehr. Diese angenehmen Formen tauchen nicht nur in der menschlichen Kunst auf, sondern auch in der „Kunst“ der Natur – in allem, von Muscheln bis hin zu Sonnenblumen! Darüber sprechen wir auch beim nächsten Mal.
Abschluss
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Bis zum nächsten Mal ist dies Jason Marshall mit The Math Dude’s Quick and Dirty Tips to Make Math Easier. Danke fürs Lesen, Mathe-Fans!