Wir zählen dezimal – das sind Vielfache von 10 oder zur Basis 10. Das bedeutet, dass wir 10 verschiedene Symbole verwenden, um alle Zahlen aufzuschreiben:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Vielleicht hilft es bei der Mathematik, 10 Ziffern auf unseren Händen zu haben.
Das war nicht immer so – Duodezimal oder Basis 12 war ein sehr beliebtes System:12 Zoll zum Fuß, 12 Pence zum Schilling, 12 Tierkreiszeichen, 12 Monate im Jahr und 2 x 12 Stunden am Tag. In der Duodezimal-Mathematik verwenden wir 12 Symbole, um alle Zahlen aufzuschreiben:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B. Duodezimal ist für Kopfrechnen überlegen, weil es vier nicht-triviale Faktoren hat:es ist durch 2, 3, 4 und 6 teilbar, im Vergleich zum Dezimalsystem, das nur zwei nicht-triviale Faktoren hat:2 und 5.
Aber Computer zählen weder Finger noch führen sie Kopfrechnen durch, sie arbeiten mit Strom und brauchen daher eine einfachere Art des Zählens. Ihre Logikschaltkreise verstehen nur Ein und Aus, was bedeutet, dass das native Zählsystem für Computer binär oder zur Basis 2 ist. Sie haben also nur zwei Symbole, um alle Zahlen aufzuschreiben:0, 1. Das ist kein Problem, denn mit dem Recht Kombination von Einsen und Nullen können wir alles darstellen – aber es bedeutet, dass wir ziemlich viele davon brauchen.
Um eine binäre Zahl zu verstehen, müssen wir bei ganzen Zahlen erkennen, dass die höchstwertige Binärziffer (oder kurz Bit) links und das niedrigstwertige Bit rechts steht. Wenn wir von rechts nach links schauen, stellt jedes Bit eine höhere Potenz von 2 dar (weil binär die Basis 2 ist). Die Binärzahl 1101 ist also, wenn man jedes Bit von rechts nach links betrachtet:1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 =1 + 0 + 4 + 8 =13.
Oder die Binärzahl 1.000 ist 0 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 =0 + 0 + 0 + 8 =8.
Verwenden Sie wie bei jedem Zahlensystem mehr Ziffern und Sie können größere Zahlen darstellen. Wir können auch Bruch- oder Fließkommazahlen darstellen, indem wir einen fiktiven Punkt hinzufügen. Aus 0111.0101 wird also 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 =7 für den ganzen Teil und (diesmal von links nach rechts ausgehend vom Punkt) 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 =1/4 + 1/16 =0,3125, was die Zahl 7,3125 ergibt.
Die Darstellung negativer Zahlen in Binärform kann jedoch kniffliger sein – es gibt tatsächlich drei verschiedene Methoden! Am einfachsten ist es, links ein Ersatzbit zu verwenden, wenn also 00111 7 ist, dann ist 10111 -7. Aber der gebräuchlichste Ansatz bei Computern wird Zweierkomplement genannt. Bei diesem Ansatz zur Darstellung einer negativen Zahl invertieren wir alle Bits und addieren 1. Wenn also 00111 7 ist, dann repräsentiert 11000+1 =11001 -7. Um das Vorzeichen umzukehren, invertieren wir die Bits und addieren wieder 1:00110+1 =00111. Clever, nicht wahr?